একটি প্রোটনের গতিশক্তি এর মোট শক্তির 75% । প্রোটনটির দ্রুতি কত?

আমরা জানি, একটি কণার মোট শক্তি (Total Energy) \(E\) এবং গতিশক্তি (Kinetic Energy) \(K\) হলে,

মোট শক্তি \(E = \gamma m_0 c^2\)

গতিশক্তি \(K = E - m_0 c^2 = (\gamma - 1)m_0 c^2\)

যেখানে \(m_0\) হলো কণার নিশ্চল ভর (Rest Mass), \(c\) হলো আলোর দ্রুতি (Speed of Light) এবং \(\gamma\) হলো লোরেন্টজ ফ্যাক্টর (Lorentz Factor) যা,

\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে \(v\) হলো কণার দ্রুতি।

প্রশ্নমতে, প্রোটনের গতিশক্তি এর মোট শক্তির 75%।

অর্থাৎ, \(K = 0.75 E\)

এখন, \(K\) এবং \(E\) এর মান বসিয়ে পাই,

\((\gamma - 1)m_0 c^2 = 0.75 (\gamma m_0 c^2)\)

উভয় পক্ষ থেকে \(m_0 c^2\) ভাগ করে পাই,

\(\gamma - 1 = 0.75 \gamma\)

\(\gamma - 0.75 \gamma = 1\)

\(0.25 \gamma = 1\)

\(\gamma = \frac{1}{0.25}\)

\(\gamma = 4\)

এখন \(\gamma\) এর সংজ্ঞামতে, \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)

সুতরাং, \(4 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,

\(4^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

\(16 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

পুনরায় সাজিয়ে পাই,

\(1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{16}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{16}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = \frac{16 - 1}{16}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = \frac{15}{16}\)

উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

\(\sqrt{\frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{15}{16}}\)

\(\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)

সুতরাং, \(v = \frac{\sqrt{15}}{4}C\)